A5 Market Risk & ALM · ADV · ~2h

ES vs VaR — Koherent Risk Ölçütleri

Basel III'ün FRTB çerçevesiyle piyasa riski standart modeli VaR'dan ES'e geçti. Bu sıradan bir parametre değişikliği değil, risk ölçümünün matematiksel temelindeki köklü bir revizyondur. Neden VaR yetmez, ES neyi düzeltir — kanıtıyla.

Bu modülden çıkman gerekenler

VaR'ın matematiksel tanımını ve kuyruk riski konusundaki kritik limitini açıklamak
Koherent risk ölçütünün 4 aksiyomunu sıralamak ve VaR'ın hangisini ihlal ettiğini göstermek
ES formülünü türetmek; normal dağılım için analitik formülü bilmek
Alt-eklenebilirlik ihlali için somut sayısal örnek vermek
FRTB'nin neden 97.5% ES kullandığını, 99% VaR ile karşılaştırarak açıklamak
ES modellerinde validatörün sorduğu kritik soruları bilmek

01 · VaR — Tanım & Temel Sınır

Value-at-Risk (VaR), belirli bir güven düzeyi ve tutma süresinde kayıp dağılımının kuantil eşiğini ölçer. Bu eşik seçilen olasılıkla aşılabilir ve “maksimum kayıp” değildir. "Kötü günlerin %1'inde ne kaybederiz?" sorusunu yanıtlar — ama daha kötü o günlerin ne kadar kötü olduğunu söylemez.

VaR — Formal Tanım

VaR_α = inf { x ∈ ℝ : P(L > x) ≤ 1 − α }

Normal L ~ N(μ_L, σ²) için: VaR_α = μ_L + σ · z_α

L = kayıp değişkeni (pozitif = kötü) · α = güven düzeyi (0.99 = %99) · z_α: z_0.95=1.645 · z_0.975=1.960 · z_0.99=2.326 · inf: "en küçük x değeri"

VaR'ın Söylediği

"%99 güven düzeyinde 10 günlük tutma süresinde kayıp X'i geçmeyecek." Yani zamanın %99'unda bu eşiğin altında kalınır.

VaR'ın Söylemediği

Kötü olan o %1'de ne olduğu. Kayıp X'i az mı geçiyor, çok mu? Bu bilgi olmadan kuyruk riski ölçülmüş sayılmaz.

VaR'ın Ölümcül Açmazı — Kuyruk Körü

İki portföy aynı %99 VaR'a sahip olabilir: biri VaR'ı aştığında ortalama %5 kaybeder, diğeri ortalama %40 kaybeder. VaR bu farkı görmez. 2008 krizinde pek çok bankanın modeli tam da bu yüzden çöktü — risk ölçütü aşımı söylüyor ama aşım büyüklüğünü söylemiyordu.

02 · Koherent Risk Ölçütleri — 4 Aksiyom

Artzner, Delbaen, Eber ve Heath (1999) "koherent" bir risk ölçütünün sağlaması gereken 4 aksiyomu tanımladı. VaR, genel kayıp dağılımlarında bunların üçünü garanti eder; alt-eklenebilirlik özel dağılım koşulları dışında garanti değildir.

1 · Monotonluk

X ≤ Y ⇒ ρ(X) ≥ ρ(Y)

Her senaryoda daha az kaybeden portföy daha az risklidir.

VaR ✓ ES ✓

2 · Alt-Eklenebilirlik

ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)

Birleştirme riski artırmamalı — çeşitlendirme ödüllendirilmeli.

VaR ✗ ES ✓

3 · Pozitif Homojenlik

ρ(λX) = λ · ρ(X), λ > 0

Pozisyonu 2×'e çıkarırsan risk de 2×'e çıkar. Ölçekle orantılı.

VaR ✓ ES ✓

4 · Öteleme Değişmezliği

ρ(X + c) = ρ(X) − c

c nakit eklersen risk c azalır. Nakit en mükemmel tampon.

VaR ✓ ES ✓

VaR genel dağılımlarda alt-eklenebilirliği garanti etmez; eliptik dağılımlar gibi özel durumlarda sağlayabilir. Masaların VaR’larını toplamak ise doğrudan portföy VaR’ı değildir ve çeşitlendirme/korelasyon yapısına göre fazla veya eksik ihtiyatlı olabilir. Bu nedenle agregasyon yöntemi ayrıca doğrulanmalıdır.

03 · Expected Shortfall — Tanım & Formül

ES, VaR eşiğinin ötesindeki kayıpların beklenen ortalamasıdır. "En kötü %1'de ortalama ne kaybederiz?" sorusunu yanıtlar.

Expected Shortfall — Genel Form

ES_α = E[ L | L > VaR_α ]

= (1 / (1−α)) · ∫_α¹ VaR_u du

Koşullu ortalama gösterimi sürekli dağılım içindir; integral form atomlu dağılımları da doğru ele alır · Kayıp konvansiyonunda ve sonlu beklenti altında ES_α ≥ VaR_α

Normal Dağılım — Analitik ES Formülü

ES_α = μ_L + σ · φ(z_α) / (1 − α)

φ(z) = standart normal PDF = (1/√2π) · e^−z²/2 · z_α = α'nın z-skoru · σ = volatilite · μ_L = beklenen kayıp (sıfır merkezli ise μ_L=0)

İnteraktif · VaR & ES Görselleştirici

Volatilite σ (%)2.0

Güven Düzeyi

Dağılım

—

VaR (σ birimi)

—

ES (σ birimi)

—

ES / VaR oranı

—

Kuyruk ağırlığı

04 · Alt-Eklenebilirlik İhlali — Sayısal Kanıt

VaR'ın alt-eklenebilirliği ihlal ettiğini göstermek için Artzner ve arkadaşlarının klasik iki-tahvil örneğini kullanalım. Her tahvilin bağımsız %1 temerrüt olasılığı var.

Örnek Kurulum

P(Temerrüt_A) = P(Temerrüt_B) = %1

Temerrüt bağımsız. Kayıp = 100 (temerrüt), 0 (temerrüt yok).

P(L_A = 100) = 0.01 · P(L_B = 100) = 0.01 · P(L_A+B = 200) = 0.0001 · P(L_A+B = 100) = 0.0198 · P(L_A+B = 0) = 0.9801

VaR(%99) — İhlal

VaR(%99) — Tahvil A 0

VaR(%99) — Tahvil B 0

VaR(A) + VaR(B) 0

VaR(%99) — Portföy A+B 100 > 0 ✗

P(L_A>0)=1% → kayıp eşiğe denk; VaR=0.
P(L_A+B>0)=1.99%>1% → VaR=100.
Birleştirme riski artırdı.

ES(%99) — Sağlıyor

ES(%99) — Tahvil A 100

ES(%99) — Tahvil B 100

ES(A) + ES(B) 200

ES(%99) — Portföy A+B ≈101 ≤ 200 ✓

ES(A+B) = ortalama kuyruk kaybı ≈ 101.
101 ≤ 200 → alt-eklenebilirlik sağlandı.
Çeşitlendirme ödüllendiriliyor.

05 · Normal vs Fat-Tail — ES Farkı

Aynı VaR eşiği için fat-tail dağılımı çok daha yüksek ES üretir. Dağılım seçimi ES hesabını doğrudan etkiler. Birçok piyasa getiri serisinde normal dağılıma kıyasla kalın kuyruk gözlenir; bunun derecesi veri, frekans ve döneme göre test edilmelidir.

Dağılım	VaR (%99)	ES (%99)	ES/VaR	Yorum
Normal (μ=0, σ=1)	2.326σ	2.665σ	1.146	Referans; ince kuyruk
Student-t(4) — ölçekli	≈2.326σ	≈3.3σ	≈1.42	Finansal kriz dönemlerine uygun
Student-t(7) — ölçekli	≈2.326σ	≈2.85σ	≈1.22	Orta kalın kuyruk

Pratik Sonuç

Aynı VaR eşiği altında fat-tail varsayımı ES’i veri ve dağılım parametrelerine bağlı olarak belirgin artırabilir → daha yüksek piyasa riski sermaye gereksinimi. Normal dağılım ES modeli ise kriz dönemlerindeki gerçek kuyruk kayıplarını sistematik olarak küçümser. FRTB'nin model onayı sürecinde hangi dağılım varsayımının seçildiği kritik bir validasyon sorusudur.

06 · FRTB — Neden ES'e Geçildi?

Basel III'ün FRTB (Fundamental Review of the Trading Book) çerçevesi, piyasa riski için standart ölçütü %99 VaR → %97.5 ES olarak değiştirdi.

Kriter	Basel 2.5 — VaR	FRTB — ES
Ölçüt	VaR(%99, 10 gün)	ES(%97.5, likidite ufku)
Normal koşullarda eşdeğerlik	—	ES(%97.5) ≈ VaR(%99) normal dağılımda
Kuyruk riski	Görmez — kuyruk körü	Ölçer — kuyruk kaybının ortalaması
Backtesting	Traffic light (Basel zones)	P&L attribution + ES backtesting (Z1/Z2)
Likidite ufku	Sabit 10 gün	Risk faktörüne göre 5 kademe: 10/20/40/60/120 gün
Stres kalibrasyonu	VaR + ayrı SVaR	Tek ES — stres döneminden kalibre

FRTB ES — Likidite Ufku Mantığı (Sezgisel Gösterim)

ES_LH: 10 günlük temel kayıplar, 10/20/40/60/120 günlük likidite dilimlerine ayrılır ve artımlı dilimler √zaman ile ölçeklenerek birleştirilir.

Likidite ufukları (LH) 5 kademedir: 10, 20, 40, 60, 120 gün (maksimum 120). Örnek atama: büyük para birimi faizi/FX → 10–20 gün, hisse fiyatı → 10–20 gün, kredi spreadi ve dalgalı/likit olmayan faktörler → 40–120 gün · LH_j = j faktörünün likidite ufku · Daha uzun LH = daha büyük şok = daha büyük sermaye gereksinimi

İleri Nokta · IMA Sermayesi Sadece ES Değildir — NMRF Tuzağı

FRTB iç model (IMA) sermayesi tek bir ES sayısı değildir; üç parçanın toplamıdır: IMCC (modellenebilir faktörlerin stresli ES'i) + SES (modellenemez risk faktörleri — NMRF — için ayrı sermaye eklentisi) + DRC (Default Risk Charge, sıçramalı temerrüt). Ayrıca IMCC'nin kendisi bugünkü ES'i değil, stres dönemi ES'i ile bugünkü ES'in oranıyla ölçeklenmiş azaltılmış faktör seti ES'idir: IMCC = ES_R,S / ES_R,C × ES_F,C. Pratikte bankaları en çok zorlayan kalem genelde NMRF/SES'tir — yeterli gözlemlenebilir fiyat (RPO testi: yılda ≥24 gerçek fiyat gözlemi ve herhangi bir 90 günlük pencerede ≥4 gözlem) bulunamayan her faktör modellenemez sayılır ve cömertçe sermayelenir. Validatör sorusu: kaç faktör NMRF'ye düştü, neden, ve banka bunu veri tedarikiyle azaltmaya çalışıyor mu?

07 · Validasyon Perspektifi

Distribüsyon Varsayımı

Normal dağılım seçimi: Gerekçelendirilmiş mi? FX, hisse ve kredi spreadleri için tarihsel veri neredeyse her zaman excess kurtosis gösterir. Jarque-Bera testi uygulandı mı? Normal modelin ES'i gerçek kayıplara kıyasla backtesting ile test edildi mi?

Stres kalibrasyonu: FRTB ES'in "stres döneminden" kalibre edilmesi gerekir. Hangi dönem seçildi? 2008 GFC yeterince stres içeriyor mu yoksa 2020 COVID veya EM krizleri de eklenmeli mi?

ES Backtesting

ES için exception sayımı yeterli değildir: ES tek başına basit bir kuantil frekansı vermez; VaR ile birlikte joint backtesting, exceedance-residual ve Acerbi–Szekely türü testler kullanılabilir. Seçilen testin varsayımları ve gücü belgelenmelidir. Model bu testleri raporluyor mu?

P&L Attribution Test: FRTB, modelin tahmin ettiği P&L ile gerçek P&L arasındaki tutarlılığı test eder. Risk faktörleri eksik ya da yanlış modellenirse PLAT başarısız olur → model devre dışı kalır.

Alt-Eklenebilirlik & Portföy Etkisi

Korelasyon varsayımı: ES hesabında portföy korelasyonları nasıl işleniyor? Sabit korelasyon mu yoksa stres korelasyonu mu? Kriz dönemlerinde korelasyonlar 1'e yaklaşır — model bunu kapsıyor mu?

IMA (Internal Model Approach) onayı: FRTB altında ES modelinin masa bazında onay alması gerekir. Her masa için ayrı backtesting. Başarısız masa standart yaklaşıma (SBA) geri düşer — bu geçişin etkileri değerlendirildi mi?

Kendini kontrol et

Aynı VaR’a sahip iki portföy neden farklı risk taşıyabilir?

VaR yalnızca kuantil eşiğini verir; eşiğin ötesindeki kayıp şiddeti farklı olabilir.

ES neden çeşitlendirmeyi daha tutarlı ele alır?

Uygun koşullarda alt-eklenebilir bir risk ölçüsüdür ve kuyruktaki kayıpları ortalar.

FRTB IMA sermayesi yalnızca ES midir?

Hayır; IMCC yanında NMRF/SES ve default risk charge gibi bileşenler bulunur.

Birincil kaynaklar ve güncellik

Son içerik kontrolü: 13 Temmuz 2026. Düzenleyici kapsam ve yürürlük tarihi kurumun yargı alanına göre ayrıca doğrulanmalıdır.

← A4 · Likidite A6 · FRTB SBA →