Sayısal Temeller · Faz VII — Zaman Serisi ve Ekonometri

Modül 29 — Volatilite Modelleme: GARCH Ailesi

temel fikir

Finansal getirilerde koşulsuz varyans sabit varsayılsa bile koşullu varyans zamanla değişebilir ve volatilite kümelenmesi gösterebilir. GARCH ailesi bu dinamiğin önemli araçlarından biridir; tarihsel simülasyon, EWMA, stokastik volatilite ve implied volatilite gibi alternatiflerin yerini evrensel olarak almaz.

GARCH(1,1) Denklemi

σ²_t = ω + αε²_t−1 + βσ²_t−1

ω > 0, α ≥ 0, β ≥ 0 · Durağanlık: α+β < 1 · Uzun vadeli varyans: σ²_∞ = ω/(1−α−β)

Kalıcılık ve Yarı-ömür

p = α + β t_½ = ln2/ln(1/p)

p → 1: şoklar çok yavaş söner (IGARCH) · p = 0: white noise · Yarı-ömür = ln2 / ln(1/(α+β)): şokun uzun-dönem düzeyinden sapmasının yarıya inmesi için geçen süre. σ² uzun-dönem düzeyine yukarıdan yaklaşır; o düzeyin yarısına hiç inmez

GARCH(1,1) için α,β≥0 ve α+β<1 sonlu koşulsuz varyans koşuludur. α+β=1 IGARCH sınırıdır; α+β>1 aynı isimle anılmaz. Sıkı durağanlık, ikinci momentin varlığından ayrı bir koşuldur. Uzun dönem varyans grafiği yalnızca sonlu varyans bölgesinde çizilir. Yol simülasyonu sonlu varyans bölgesinde koşulsuz varyansla, diğer bölgede başlangıç varyansı 1 ile başlar; patlayan varyans yapay olarak sınırlanmaz.

GARCH Simülatörü

Üst: getiri serisi ε_t. Alt: koşullu volatilite σ_t (mavi) + uzun dönem σ_∞ (kesik siyah). Büyük α: şoklara hızlı tepki. Büyük β: volatilitenin uzun sürmesi.

ARCH terimi α

α = 0.10

GARCH terimi β

β = 0.85

Taban varyans ω

ω = 0.05

—

Getiriler ε_t

σ_t (koşullu vol.)

σ_∞ (uzun dönem)

Kalıcılık α+β

—

Uzun dönem σ_∞

—

Yarı-ömür (gün)

—

Simüle ortalama σ

—

GARCH ailesi: EGARCH ve GJR

Standart GARCH negatif ve pozitif şoklara eşit tepki verir. Ama hisse senetlerinde kaldıraç etkisi (leverage effect) gözlemlenir: fiyat düşüşleri yükselmelerden daha fazla volatilite artırır. GJR-GARCH bunu şu şekilde yakalar: σ²_t = ω + (α + γ·1_{ε_{t-1}<0})·ε²_{t-1} + β·σ²_{t-1}. γ > 0 ise negatif şokların etkisi daha büyük. EGARCH ise log-varyans denklemini kullanarak hem asimetriyi hem de σ²'nin negatife düşmeme sorununu çözer.

GARCH veri penceresi sabit 250 gün olmak zorunda değildir; parametre kararlılığı ve rejim kapsaması doğrulanır. FRTB sermaye ölçüsü %97,5 ES olsa da backtesting VaR ile yapılır. Kalıcılık β tek başına değil α+β ile değerlendirilir; α+β bire yaklaştıkça şokun yarı ömrü uzar.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 28 Modül 30 — Eşbütünleşme ve ECM →