Sayısal Temeller · Faz VII — Zaman Serisi ve Ekonometri

Modül 28 — ARMA ve ARIMA

temel fikir

ARMA(p,q), durağan bir seride geçmiş değerler ile geçmiş yenilikleri birleştirir. ARIMA(p,d,q), d kez fark alınmış seriye ARMA uygular. p, d ve q seçimi yalnızca ACF/PACF deokurune değil; birim kök analizi, AIC/BIC, artık tanıları ve out-of-sample tahmin performansına dayanır.

ARMA(p,q) Modeli

y_t = ∑_i=1^p φ_iy_t−i + ε_t + ∑_j=1^q θ_jε_t−j

Durağan şart: AR polinomu kökleri birim daire dışında · Invertibility: MA polinomu aynı şart · ε ~ WN(0,σ²)

Impuls Yanıt (Wold)

y_t = ∑_j=0^∞ ψ_jε_t−j

AR(1): ψ_j = φʲ · MA(1): ψ₀=1, ψ₁=θ, ψ_{j≥2}=0 · ARMA(1,1): ψ_j=(φ+θ)φ^{j-1} j≥1 · Şokun "hafızası"

ARMA örneklerindeki yenilikler bağımsız normaldir. Durağanlık AR polinomunun köklerine, tersinirlik MA polinomunun köklerine bağlıdır. Tahmin aralıkları seçilen model ve sabit parametreler koşulunda hesaplanır; parametre belirsizliğini içermez.

ARMA Keşfedici

Sol: impuls yanıt ψ_j — t=0'da gelen şokun zaman içindeki etkisi. Sağ: teorik ACF. Bu iki grafik modelin "hafızasını" gösterir.

AR katsayısı φ

φ = 0.70

MA katsayısı θ

θ = 0.50

AR(2) ikinci katsayı φ₂

φ₂ = −0.30

—

ARIMA: entegrasyon ve fark alma

Rastgele yürüyüş gibi birim köklü seriler için önce d kez fark alınır (genellikle d=1 yeterli), böylece seri durağanlaştırılır; ardından ARMA(p,q) uygulanır. ARIMA(0,1,0): rastgele yürüyüş. ARIMA(1,1,0): fark alınmış AR(1). Mevsimsellik varsa SARIMA. Model seçiminde Akaike (AIC = 2k − 2 ln L) ve Bayesian (BIC = k ln n − 2 ln L) kriterleri kullanılır; daha az parametre tercih edilir. Dikkat: panelde gösterilen AIC, 2k + n·ln σ̂² biçimindeki yoğunlaştırılmış değerdir — n(1+ln2π) sabiti atılmıştır. Modeller arası karşılaştırmada aynı sıralamayı verir ama statsmodels/R’ın basılı AIC değeriyle sayısal olarak örtüşmez.

Faiz serilerinde ARIMA: USD LIBOR’un kalan sentetik ayarları da 2024’te sona erdi; güncel USD risksiz referans SOFR’dır. SOFR/Euribor gibi serilerin I(1) olduğu peşinen kabul edilmez; örneklem ve rejime göre test edilir. Artıklarda Ljung–Box, değişen varyans ve zaman bazlı dış-örneklem performansı kontrol edilir.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 27 Modül 29 — GARCH Ailesi →