Sayısal Temeller · Faz VI — Stokastik Süreçler ve Monte Carlo

Modül 26 — Varyans Azaltma ve Quasi-Monte Carlo

temel fikir

Standart Monte Carlo’da düzgün beklenti tahmininin RMSE’i tipik olarak N^−1/2 mertebesindedir. Varyans azaltma sabiti küçültür; yakınsama mertebesini her zaman değiştirmez. QMC düşük-ayrışımlı deterministik noktalar kullanır ve uygun düzgünlük/etkin boyutta yaklaşık N⁻¹·(log N)^d hata sınırları sağlayabilir; rastgeleleştirilmiş QMC hata tahminini mümkün kılar.

Antitetik Değişkenler

Ŷ = ½[f(Z) + f(−Z)]

Var[Ŷ] = ½Var[f(Z)](1 + Cor[f(Z),f(−Z)]) · Koreles. < 0 ise varyans azalır · Opsiyon fiyatlamasında standart

Halton Dizisi (QMC)

x_i = φ_b(i) (radikal ters fonksiyon, taban b)

Geri dönüştürülmüş taban-b temsili · Hata: O((log N)^d / N) · 2D: baz 2 ve 3 kullan · Boşluk ve küme yok

Antitetik karşılaştırmada N toplam ödeme fonksiyonu değerlendirmesidir; N/2 bağımsız normal çekiliş ve bunların negatifleri kullanılır. Halton grafiği tek bir deterministik dizinin sonucudur. Süreksiz çeyrek daire integrandına genel düzgünlük temelli QMC hata sınırını doğrudan uygulamak uygun değildir.

Varyans Azaltma Merkezi

500 bağımsız tahmin (her biri N simülasyon). Mavi: standart MC dağılımı. Yeşil: antitetik MC dağılımı. İkisi aynı N'i kullanır — fark varyans azaltma.

Kullanım fiyatı K

K = 100

Volatilite σ (%)

σ = 20%

Her tahmindeki N

N = 50

S₀ = 100, r = 5%, T = 1 yıl · Gerçek BS fiyatı: —

Standart MC tahminleri

Antitetik MC tahminleri

Gerçek BS fiyatı

Std. MC std sapma

—

Antitetik std sapma

—

Varyans azaltma oranı

—

Eşdeğer N (standart)

—

teknikler özeti

Teknik seçimi probleme bağlıdır. Antitetik çiftler f(Z) ile f(−Z) negatif korelasyon ürettiğinde yararlıdır. Kontrol değişkeni bilinen beklenti ister; önem örneklemesi doğru likelihood ağırlığını korumalıdır. QMC başarısında d için sabit bir “10” sınırı yoktur; etkin boyut, düzgünlük ve değişken sıralaması belirleyicidir.

%99,9 kuyrukta N=10.000 örneğin yalnızca yaklaşık 10’u eşik ötesindedir; bu gözlem tahminin neden kararsız olabileceğini gösterir. Önem örneklemesi nadir bölgeyi sıklaştırabilir, ancak ağırlık değişkenliği ve yanlılık kontrolleri zorunludur. Düzenleme “daha az simülasyon” hedefi koymaz; sayısal doğruluk gösterilmelidir.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 25 Modül 27 — Durağanlık ve Otokorelasyon →