Sayısal Temeller · Faz VI — Stokastik Süreçler ve Monte Carlo

Modül 24 — Mean-Reverting Süreçler: OU, Vasicek ve CIR

temel fikir

GBM'de fiyat rastgele yürüyüşle herhangi bir yöne gidebilir. Ama faiz oranları ve kredi spreadleri tarihin bize gösterdiği gibi belirli bir ortalamaya çeker: çok yükselirse ekonomik baskılar aşağı iter, çok düşerse tersine. Bu "ortalamaya dönüş" (mean reversion) özelliğini yakalayan en basit model Ornstein-Uhlenbeck sürecidir.

OU / Vasicek Süreci

dX = θ(μ − X) dt + σ dW

θ: geri çekim hızı (yarı-ömür = ln2/θ) · μ: uzun vadeli ortalama · E[X(t)] = μ + (X₀−μ)e^{−θt} · Durağan var. = σ²/(2θ)

CIR Süreci

dR = θ(μ − R) dt + σ√R dW

Negatif değer üretmez (R ≥ 0) · Feller koşulu: 2θμ ≥ σ² → sıfıra değmez · Faiz oranı modellemesinde Vasicek'e tercih edilir

OU ve Vasicek yolları zaman adımıyla yaklaşık üretilir; analitik momentler sürekli zaman modeline aittir. CIR’de sıfır sınırı ve Feller koşulu, kullanılan ayrık zaman yaklaşımının doğruluğundan ayrı konulardır. Negatif adımı sıfıra kırpmak tam CIR geçişi değildir.

Mean-Reversion Simülatörü

Kalın çizgi: E[X(t)] = μ + (X₀−μ)e^{−θt}. Gölge: ±1σ(t) teorik bant. Sağ: durağan dağılım N(μ, σ²/2θ).

Geri çekim hızı θ

θ = 1.50

Uzun vadeli ortalama μ

μ = 0.00

Difüzyon σ

σ = 0.80

Başlangıç X₀

X₀ = 2.00

Zaman ufku T

T = 4.0

X(t) yolları

E[X(t)]

±1σ(t) bant

Durağan N(μ,σ²/2θ)

Yarı-ömür ln2/θ

—

Durağan std σ/√(2θ)

—

E[X(T)]

—

Std[X(T)]

—

durağan dağılım ve kalibrasyon

OU süreci θ>0 iken N(μ,σ²/(2θ)) durağan dağılımına yakınsar. Ayrık gözlemler için koşullu dağılım normaldir; bazı parametre dönüşümleri kapalı biçimde tahmin edilebilse de sürekli-zaman kısıtları ve düzensiz aralıklar çoğu uygulamada sayısal eniyileme gerektirir. Büyük θ daha hızlı ortalamaya dönüş demektir.

Vasicek ve CIR kısa oran modelleridir; bir düzenleyicinin stres senaryosunu zorunlu olarak bu süreçlerle ürettiği varsayılmamalıdır. CIR sürekli zamanda negatif olmaz; katı pozitiflik için 2θμ≥σ² Feller koşulu önemlidir ve basit Euler simülasyonu negatif değer üretebilir. Model seçimi para birimi, rejim ve kullanım amacına göre doğrulanır.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 23 Modül 25 — Monte Carlo Simülasyonu: VaR ve ECL →