Sayısal Temeller · Faz VI — Stokastik Süreçler ve Monte Carlo

Modül 23 — Itô Lemması

neden klasik zincir kuralı yetmez

Deterministik fonksiyonlar için f(X(t))'nin türevi zincir kuralıyla hesaplanır: df = f'(X) dX. Ama X = W(t) Brownian motion ise bu formül eksiktir. Sebebi: BM'nin ikinci dereceden varyasyonu sıfıra gitmez, t'ye yakınsar. Yani (dW)² = dt — ve bu terim Taylor açılımında ihmal edilemeyecek kadar büyük. Itô lemması bu düzeltmeyi ekler.

Itô Lemması (1D)

df = f_t dt + f_X dX + ½ f_XX (dX)² dX = μ dt + σ dW

(dX)² = σ² dt (Itô'nun ikinci tortusu) · (dW)² = dt · (dt)² → 0 · dt·dW → 0
Sonuç: df = (f_t + μf_X + ½σ²f_XX) dt + σf_X dW — klasik kalkülüsten farklı olan ½σ²f_XX terimi

GBM çözümü (f = log S)

d(log S) = (μ − σ²/2) dt + σ dW

σ²/2: Itô düzeltmesi · f'=1/S, f''=−1/S² · Medyan büyüme hızı < ortalama büyüme hızı

İkinci Dereceden Varyasyon

[W, W]_T = ∑(ΔW)² → T

Deterministik limitte t'ye yakınsar · Klasik C¹ fonksiyonlarda QV = 0 · "BM'nin izleri ölçülebilir"

Itô Merkezi

Üst: BM yolu W(t). Alt: birikimli QV(t) = ∑(ΔW)² (mavi) vs referans t (kırmızı kesik). Adım sayısı arttıkça QV → t yakınsıyor.

Zaman ufku T

T = 2.0

Adım sayısı N

N = 100

W(t) yolu

QV(t) = ∑(ΔW)²

t (teorik limit)

QV(T) hesaplanan

—

T (teorik)

—

Sapma |QV−T|

—

Sapma %

—

Jensen eşitsizliği bağlantısı

Itô düzeltmesi ile Jensen eşitsizliği aynı sonuç değildir, fakat ikisi de doğrusal olmayan dönüşümde ortalamanın dönüşümle yer değiştirmediğini gösterir. GBM’de E[log S_T]=log S₀+(μ−σ²/2)T, buna karşılık log E[S_T]=log S₀+μT’dir; log fark σ²T/2’dir.

Teminat değeri GBM varsayılırsa ortalama/medyan oranı exp(σ²T/2)’dir. T=3 ve σ=%25 için log fark %9,375; seviye oranı exp(0,09375)−1≈%9,83’tür. Hangi merkezi eğilimin kalibre edildiği açıkça belgelenmelidir.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 22 Modül 24 — Mean-Reverting Süreçler →