Sayısal Temeller · Faz VI — Stokastik Süreçler ve Monte Carlo

Modül 22 — Brownian Motion ve Geometrik Brownian Motion

temel fikir

Brownian motion W(0)=0, sürekli örnek yollar, bağımsız artışlar ve W(t)−W(s)~N(0,t−s) özellikleriyle tanımlanır. dW=√dt·Z ifadesi ayrık simülasyon adımıdır. Geometrik Brownian motion fiyatı değil log-fiyat artışını Gaussian kurarak pozitif seviye üretir.

Aritmetik BM (ABM)

dX = μ dt + σ dW

X(t) ~ N(μt, σ²t) · E[X(t)] = μt · Std[X(t)] = σ√t · Negatif değer üretebilir

Geometrik BM (GBM)

dS = μS dt + σS dW

S(t) = S₀ exp((μ−σ²/2)t + σW(t)) · log(S(T)) ~ N · Negatif fiyat yok · Black-Scholes temeli

Brownian artışları N(0,Δt) dağılımından gelir. GBM’nin lognormal geçişi ile Euler yaklaşımı aynı sayısal yöntem değildir. Örneklerde parametreler sabit kabul edilir; gözlenen fiyat süreçlerinin bu varsayımları sağladığı sonucu çıkarılamaz.

Stokastik Süreç Simülatörü

X(t) = μt + σW(t). Gölgeli bant: teorik ±1σ = ±σ√t. Kalın çizgi: teorik ortalama μt.

Drift μ

μ = 0.20

Difüzyon σ

σ = 1.00

Zaman ufku T

T = 2.0

25 yol simüle ediliyor

X(t) yolları

E[X(t)] = μt

±σ√t bant

E[X(T)] teorik

—

Std[X(T)] teorik

—

Simülasyon ortalama

—

Simülasyon std

—

Itô lemması ve GBM'in çözümü

GBM'i S(t) = S₀ exp((μ−σ²/2)t + σW(t)) şeklinde çözmek için basit türev zincir kuralı yeterli değildir; çünkü W(t) sonsuz varyasyon. Itô lemması bu düzeltmeyi yapar: f(W)'nin türevinde (f'')×(dW)² = dt terimi eklenir. σ²/2 terimi (Itô düzeltmesi) buradan gelir ve beklenti değeri üzerinde kritik etki yapar: E[S(T)] = S₀e^{μT} ama E[log(S(T)/S₀)] = (μ−σ²/2)T.

GBM öğretici bir fiyat sürecidir; güncel FRTB standardı belirli bir GBM kalibrasyonu veya “en az 250 gün” parametre örneklemi şartı koymaz. FRTB sermayesinde %97,5 ES ve likidite ufukları; backtesting’de ise bir günlük VaR kullanılır. Veri penceresi kullanım amacı ve yerel uygulamayla gerekçelendirilir.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 21 Modül 23 — Itô Lemması →