Sayısal Temeller · Faz V — Türev ve Optimizasyon

Modül 21 — Kısıtlı Optimizasyon: Lagrange ve Markowitz

temel fikir

Kısıtsız optimizasyonda ∇f = 0 aranır. Kısıtlı durumda ise kısıt yüzeyinde kalan noktalar arasında minimum aranır. Lagrange çarpanı yöntemi şunu söyler: optimalin bulunduğu noktada amaç fonksiyonunun gradyanı, kısıt fonksiyonunun gradyanına paralel olmalıdır — başka yönde küçülme imkânı kalmamıştır. Bu geometrik şart, finansal optimizasyonun (Markowitz, risk paritesi) ve makine öğrenmesi düzenlileştirmesinin temelini oluşturur.

Lagrange Fonksiyonu

∇f(x^*) = λ ∇g(x^*)

L(x,λ) = f(x) − λ(g(x)−c) · Optimal şart: gradyanlar paralel · λ: kısıtın "gölge fiyatı"

Markowitz Problemi

min_w w^TΣw s.t. w^Tμ = μ_p, 1^Tw = 1

Kısıtlı kuadratik optimizasyon · Lagrange çözümü analitiktir · Etkin sınır: σ²_p = (Aμ_p² − 2Bμ_p + C)/D

Mavi noktalar açığa satış içermeyen rastgele portföylerdir; analitik sınır ise ağırlık toplamı 1 olacak şekilde açığa satışa izin verir. Dolayısıyla noktalar tüm etkin sınırı doldurmaz. Kovaryans matrisi ve teğet portföyün varlık koşulları hesaplamadan önce kontrol edilir.

Kısıtlı Optimizasyon Merkezi

f(x,y) = x² + a·y² minimize et, kısıt: x + y = c. Noktayı kısıt boyunca kaydır — gradyanlar paralel olduğunda Lagrange şartı sağlanmış demektir.

Şekil parametresi a

a = 2.0

Kısıt sabiti c

c = 1.5

Test noktasının kısıt üzerindeki konumu

x₀ = 0.75

∇f (amaç gradyanı)

∇g (kısıt gradyanı)

Kısıt: x+y=c

Optimal x*

Lagrange şartı sağlanmadı

—

KKT koşulları ve eşitsizlik kısıtları

Basit Lagrange çarpanları eşitlik kısıtlarını ele alır; eşitsizlikler KKT koşullarını gerektirir. Tamamlayıcı gevşeklik μᵢgᵢ(x)=0’dır: kısıt gevşekse μᵢ=0, aktifse μᵢ≥0 olabilir; aktiflik her zaman μᵢ>0 anlamına gelmez. Kısıt işaretiyle dual değişken işareti tutarlı yazılmalıdır.

Model ensemble ağırlıklarını Markowitz benzetmesiyle düşünmek sezgiseldir; ancak model hataları sabit getirili varlıklar gibi davranmaz. Ortak veri, rejim kayması ve sistematik yanlılık çeşitlendirmeyi zayıflatır. Bu nedenle benzetme, bağımsız validasyon ve yönetişimin yerine geçmez.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 20 Modül 22 — Brownian Motion ve GBM →