Sayısal Temeller · Faz IV — Lineer Cebir
Modül 15 — Matrisler ve Lineer Dönüşümler
temel fikir
Matris, bir vektörü başka bir vektöre dönüştüren fonksiyondur. Bu bakış açısıyla bir 2×2 matris, 2D uzayı "büker" — döndürür, ölçekler, yansıtır, kesme (shear) uygular veya boyutu düşürür. Lineer dönüşümlerin tüm özellikleri matrisle kodlanmıştır: determinant dönüşümün alan değişimini, iz (trace) özdeğerlerin toplamını, rank ise boyut kaybını ölçer.
Matris-Vektör Çarpımı
Ax = [
][
] = [
]
| a | b |
| c | d |
| x |
| y |
| ax+by |
| cx+dy |
Sütunlar dönüştürülmüş temel vektörleri gösterir: A×e₁ ve A×e₂
Determinant ve İz
det(A) = ad − bc tr(A) = a+d
det = alan ölçekleme faktörü (negatif = ters yön) · tr = özdeğerlerin toplamı · det = özdeğerlerin çarpımı
Lineer Dönüşüm Görselleştirici
[
]
a
1.0
b
0.0
c
0.0
d
1.0
Orijinal uzay
Dönüştürülmüş uzay
e₁, e₂
A×e₁, A×e₂
det(A)
1.00
tr(A)
2.00
|A×e₁|
1.00
|A×e₂|
1.00
Rank
2
—
simetrik matrisler ve korelasyon
Kovaryans ve korelasyon matrisleri simetrik ve pozitif yarı-kesin olmalıdır; eşdeğer olarak her x için xᵀΣx≥0 ve tüm özdeğerler ≥0’dır. Bu, hesaplanan portföy varyansının negatif olmamasını sağlar. Standart Cholesky ise pozitif kesin matriste A=LLᵀ biçimindedir; tekil PSD durumda farklı sayısal yöntem gerekebilir.
Korelasyon matrisi geometrisi: ρ = 0.8 olan iki varlık için Σ = [[1, 0.8],[0.8, 1]]. Bu matrisin özdeğerleri 1.8 ve 0.2. Özdeğer 1.8'e karşılık gelen özvektör, verinin en fazla yayıldığı yönü (45°) gösterir — ve PCA'nın bu yönü birinci bileşen olarak seçmesinin sebebidir. Bu yönü özvektör ve elips olarak görmek için Modül 17’nin özvektör sekmesine bakın; aşağıdaki dönüşüm görselleştiricisi birim kare ve baz vektörlerini çizer, elips çizmez.
Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.