Sayısal Temeller · Faz III — İstatistiksel Çıkarım

Modül 14 — Uyum İyiliği Testleri: KS, AD, Jarque-Bera

temel fikir

Bir modeli veriye uydurmadan önce veya sonra şunu sormak gerekir: bu veri gerçekten varsaydığımız dağılımdan mı geliyor? Normal mi, üstel mi, kalın kuyruklu mu? Uyum iyiliği testleri bu soruyu istatistiksel olarak yanıtlar. Risk modellemesinde model varsayımlarını doğrulamak için validasyonun olmazsa olmazıdır.

Kolmogorov-Smirnov İstatistiği

D_n = sup_x |F_n(x) − F(x)|

F_n: ampirik CDF (ECDF) · F: hipotez altındaki teorik CDF · D_n√n → Kolmogorov dağılımı

Jarque-Bera Normallik Testi

JB = n/6 × (S² + K²/4)

S: örneklem çarpıklığı · K: fazla basıklık · H₀ altında: JB ~ χ²(2) · p = exp(−JB/2)

Bu örnekte normal dağılımın ortalaması ve standart sapması aynı örneklemden tahmin edilir. KS ve AD p-değerleri bu tahmin adımını her tekrarda yineleyen 499 örneklemli parametrik bootstrap ile bulunur. En küçük p-değeri 1/500’dür; sınırdaki sonuçlar Monte Carlo belirsizliği taşır. Jarque–Bera p-değeri ise asimptotik χ²(2) yaklaşımıdır.

Uyum Testi Merkezi

Mavi adım: ampirik CDF (ECDF). Turuncu eğri: uydurulan normal N(x̅, s²). Kırmızı dikey çizgi: maksimum sapma D_n.

Örneklem büyüklüğü n

n = 40

—

ECDF (ampirik)

Teorik CDF: N(x̅, s²)

D_n — maks. sapma

KS İstatistiği D_n

—

p-Değeri

—

Karar (%5)

—

ne zaman hangi test?

Test	Güçlü yön	Zayıf yön	Tercih senaryosu
KS	Herhangi dağılım, görsel destek	Ağırlığı eşit dağıtır, kuyruk duyarlılığı zayıf	Genel amaç, dağılım ailesi biliniyorsa
Anderson-Darling	Kuyruk bölgelerine ağırlık verir	Sadece bazı aileler için tablo mevcut	Risk modellemesinde kuyruk normalliği testi
Jarque-Bera	Momentlere dayalı, büyük n'de güçlü	Küçük örneklemde zayıf (<50)	Model kalıntılarının normalliği (regresyon)
QQ-Plot	Sapma noktasını ve türünü gösterir	Kantitatif bir p-değeri vermez	Her durumda görsel ön tanı olarak

Denetçi uyarısı — tahmini parametre tuzağı: Standart KS kritik değerleri (Kolmogorov dağılımı), test edilen teorik dağılımın parametrelerinin önceden bilindiği varsayımıyla türetilmiştir. Ama pratikte normalliği test ederken ortalama ve varyansı aynı veriden tahmin edersiniz — bu modülün simülatörü de N(x̅, s²) uydurur. Bu durumda uydurulan dağılım veriye "fazla iyi" oturur, gözlenen D_n sistematik olarak küçülür ve standart tablo testi aşırı muhafazakâr hale gelir: gerçekte reddedilmesi gereken normalliği reddetmez. Doğru yol Lilliefors düzeltmesi (tahmini parametreler için ayarlanmış KS kritik değerleri), Anderson-Darling'in tahmini-parametre tabloları, ya da simülasyonla (parametrik bootstrap) p-değeri üretmektir. Validasyon raporunda "KS ile normallik kabul edildi" derken hangi kritik değer setinin kullanıldığını mutlaka belirtin.

FRTB PLA testi bir normallik testi değildir: risk-theoretical P&L ile hypothetical P&L arasındaki Spearman korelasyonunu ve iki dağılım arasındaki KS metriğini kullanır. Genel uyum analizinde ise KS/AD/JB farklı sapmaları yakalar; parametreler veriden tahmin edildiyse kritik değerler buna göre düzeltilmelidir.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 13 Modül 15 — Matrisler ve Lineer Dönüşümler →