Sayısal Temeller · Faz IV — Lineer Cebir

Modül 16 — Cholesky Ayrışımı ve Korelasyonlu Simülasyon

temel fikir

Monte Carlo simülasyonunda bağımsız N(0,1) örnekler üretmek kolaydır. Ama iki varlık arasında ρ = 0.7 korelasyon varsa, bu korelasyonu örneklere nasıl "enjekte ederiz"? Cholesky ayrışımı bu köprüyü kurar: kovaryans matrisi Σ = LL^T biçiminde ayrıştırılır ve bağımsız örnekler L ile dönüştürülür.

Bu işlem Modül 15'te öğrendiğimiz lineer dönüşümün doğrudan uygulamasıdır: X = L × Z. Z dairevi bulutsa, X korelasyonlu eliptik buluta dönüşür. L'nin sütunları dönüşümün yönünü belirler.

2×2 Cholesky (korelasyon ρ)

Σ = LL^T L = [

1	0
ρ	√(1−ρ²)

]

X₁ = Z₁ · X₂ = ρZ₁ + √(1−ρ²)Z₂ · L sütunları → korelasyonlu eksenler

Korelasyonlu Örnekleme

X = L Z, Z ~ N(0, I)

Z: bağımsız standart normal · X ~ N(0, Σ) · Σ = LL^T doğrulanır: E[XX^T] = L E[ZZ^T] L^T = LIL^T = LL^T = Σ

Cholesky faktörü için pozitif tanımlı kovaryans matrisi gerekir. Sınırdaki yarı tanımlı matrislerde standart ayrışım başarısız olabilir; bu durum negatif varyansla aynı değildir.

Cholesky Simülatörü

Sol: bağımsız Z₁, Z₂ (dairevi). Sağ: L ile dönüştürülmüş korelasyonlu X₁, X₂ (eliptik). Korelasyon arttıkça elips uzar.

Korelasyon ρ

ρ = 0.00

Σ (Kovaryans)

[

0.00

]

=
LL^T

L (Cholesky)

[

1.000

0.000

1.000

]

—

pozitif kesinlik ve tekil sınır

Klasik Cholesky ayrışımı simetrik pozitif kesin matris için güvenlidir. Determinantın sıfır olduğu tekil PSD sınırında standart algoritma sıfır pivotla durabilir; pivotlu Cholesky veya özdeğer ayrışımı kullanılabilir. Üç korelasyon için det(Σ)=1−ρ₁₂²−ρ₁₃²−ρ₂₃²+2ρ₁₂ρ₁₃ρ₂₃≥0 gerekli koşuldur. Pairwise ve eksik veriden ayrı ayrı tahmin edilen korelasyonlar PSD’yi bozabilir; düzeltme yöntemi ve etkisi belgelenmelidir.

Monte Carlo VaR hesabında Cholesky doğrudan kullanılır: 1000 piyasa senaryosu üretmek için 1000 bağımsız Z vektörü oluştur, her birini L ile çarp (X = LZ), portföy P&L = Δ × X ile hesapla. L'nin bir kez hesaplanması yeterlidir; tüm senaryolar aynı L ile üretilir. Bu yüzden Cholesky, büyük portföylerde hesaplama verimliliğinin temel aracıdır.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 15 Modül 17 — Özdeğer, Özvektör ve PCA →