Sayısal Temeller · Faz II — Olasılık Temelleri

Modül 08 — Momentler: Beklenti, Varyans, Çarpıklık, Basıklık

temel fikir

Bir dağılımı tek bir sayıyla tanımlamak mümkün değildir. "Ortalama getiri %10" bilgisi size kazanacağınızı garantilemez; varyansın da büyük olduğunu bilmeniz gerekir. Ama varyans da yeterli değildir — sol çarpık bir dağılımda kayıplar kazançtan sistematik olarak büyük olabilir. Ve kuyruklar beklenenden çok daha kalın olabilir. Momentler, bir dağılımı giderek daha ince ayrıntıyla tanımlar.

1. Moment — Beklenti (Konum)

E[X] = μ = ∫ x ⋅ f(x) dx

Dağılımın ağırlık merkezi · Beklenen değer · Uzun dönem ortalama

2. Santral Moment — Varyans (Yayılım)

Var[X] = E[(X − μ)²]

Ortalamadan ortalama kare sapma · σ = √Var[X] standart sapma

3. Santral Moment — Çarpıklık (Asimetri)

Skew = E[(X − μ)³] / σ³

>0: uzun sağ kuyruk (kazançta uç) · <0: uzun sol kuyruk (kayıpta uç) · Kredi portföyünün getiri/P&L dağılımı sol çarpıktır (kayıp tutarı ekokurunde ifade edilirse aynı dağılım sağa çarpık görünür)

4. Santral Moment — Basıklık (Kuyruk Ağırlığı)

Kurt_fazla = E[(X − μ)⁴] / σ⁴ − 3

Normal için 0 (referans) · >0: leptokurtik, sivri/kalın kuyruk · <0: platykurtik, geniş/ince kuyruk

Basıklık, dördüncü standartlaştırılmış momenttir; tek başına tepe yüksekliği ya da belirli bir kuyruk olasılığı değildir. Aşağıdaki Gram–Charlier eğrisi kesilmiş bir seri açılımıdır; negatif kısımlar gizlenmez. Cornish–Fisher ayrı bir kuantil yaklaşımıdır.

Moment Anatomi Merkezi

Kontroller açılımın konum, ölçek, çarpıklık ve fazla basıklık parametrelerini değiştirir. Kesikli mavi çizgi normal referanstır (aynı μ ve σ). Gram–Charlier açılımı negatif değer alırsa geçerli bir yoğunluk değildir.

Ortalama μ

0.0

Standart Sapma σ

1.0

Çarpıklık γ₁

0.0

Fazla Basıklık γ₂

0.0

Ortalama

0.0

Ağırlık merkezi

Std Sapma

1.0

Tipik sapma

Çarpıklık

0.0

Simetrik

Faz. Basıklık

0.0

Normal gibi

neden varyans yetmez?

Aynı beklenen getiri ve varyansa sahip portföyler farklı kuyruk riskleri taşıyabilir. Ancak yalnızca çarpıklık katsayısını bilerek %1 kuantilinin hangi yönde ve ne kadar değiştiği söylenemez. Bunun için dağılımın bütünü veya geçerli bir kuyruk modeli gerekir.

Yapılandırılmış ürünlerde ve kredi portföylerinde ortak temerrütler, asimetri ve kuyruk bağımlılığı ortalama–varyans özetinin dışında kalan riskleri büyütebilir.

Dağılım incelemesinde asimetri, uç gözlemler ve kuyruk duyarlılığı birlikte değerlendirilir. Basıklık için tek bir evrensel “hafif/ağır kuyruk” eşiği yoktur; moment özetleri tüm dağılımın yerine geçmez.

bankacılıkta momentler

PD kalibrasyonunda temerrüt sayımlarının doğal başlangıç modeli binom dağılımıdır. Düşük PD veya küçük örneklemde normal yaklaşım yetersiz kalabilir; bağımlı temerrütlerde binom varsayımı da yeniden değerlendirilir.

FRTB IMA ayrımı: P&L attribution testi moment normalliğini sınamaz; risk-theoretical P&L ile hypothetical P&L’yi Spearman korelasyonu ve KS dağılım metriğiyle karşılaştırır. Momentler yine model tanısında yararlıdır, ancak PLA geçme/kalmayı tek başına belirlemez.

Jarque-Bera normallik testi (Modül 14'te detaylı) doğrudan çarpıklık ve basıklık momentlerini kullanır: JB = n/6 × (Skew² + FazlaKurt²/4). Bu modülde öğrenilen momentler o testin hammaddesidir.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 07 Modül 09 — Çok Değişkenli Dağılımlar ve Bağımlılık →