Modül 07 — Rastgele Değişkenler ve Dağılım Aileleri
temel fikir
Rastgele değişken, bir deney sonucunu sayıya dönüştüren bir fonksiyondur. Kredi riski modelcisi için: "Bu firma gelecek yıl temerrüde düşecek mi?" sorusu 0/1 değer alan Bernoulli değişkenidir. "Temerrüde düşen firma sayısı?" Poisson veya Binomial. "Temerrüde kadar geçen süre?" Exponential. "Kredi kaybı yüzdesi?" Lognormal. Her sorunun kendi doğal dağılımı vardır.
Bir dağılımı tanıyan kişi veriyi onun penceresinden okur: asimetri mi var, kuyruğu ağır mı, ayrık mı, sürekli mi? Bu sorular doğru modeli seçmek, doğru güven aralığı kurmak ve risk ölçütlerini sağlıklı hesaplamak için zorunludur.
Student-t için ölçek parametresi standart sapma değildir: ν>2 olduğunda standart sapma ölçek × √(ν/(ν−2)) olur. ν≤2 için varyans, ν≤1 için beklenti tanımlı değildir. Dağılım aileleri karşılaştırılırken bu fark korunmalıdır.
neden lognormal?
Pozitif fiyatlar için lognormal model sık kullanılan bir başlangıçtır; her finansal fiyatın pozitif olduğu varsayılamaz. Eğer log-getiriler normal dağılıyorsa (N(μ, σ²)), fiyatların kendisi lognormal dağılır: P_t = P_0 × e^(μt + σW_t). Lognormal dağılımın belirgin asimetrisi — sağ kuyruğun uzunluğu — varlık fiyatlarının çarpık dağılımını yakalar. Dikkat: lognormal üstten sınırsızdır (0–∞), bu yüzden [0,1] aralığında sınırlı olan LGD için doğal seçim aslında Beta dağılımıdır (her iki ucu da sınırlar); gerçek kurtarım verisi ise çoğu zaman 0 ve 1 noktalarında yığılma gösterdiği için pratikte iki-aşamalı (tam kurtarım / tam kayıp + Beta) ya da kırpılmış modeller kullanılır.
poisson ve operasyonel risk
Poisson yaklaşımı: Sabit yoğunluk, bağımsız artışlar ve olayların tek tek gerçekleşmesi varsayımlarında olay sayısını modeller. Temerrüt ve operasyonel kayıp olaylarında ortak faktör, kümelenme veya değişen yoğunluk varsa Poisson yetersiz kalabilir; binom, negatif binom, Cox süreci ya da faktör modeli gerekebilir. Binomial(n,p) ≈ Poisson(np) yakınsaması n büyük ve p küçükken kullanılır.
bankacılıkta hangi dağılım nerede?
| Dağılım | Bankacılık Uygulaması | Kritik Özellik |
|---|---|---|
| Normal | Log-getiriler, hata terimleri, CLT yaklaşımı | Simetrik, ince kuyruk — yüksek sigma olaylarını küçümser |
| Lognormal | Varlık fiyatı ve pozitif kayıp şiddeti | Pozitif, üstten sınırsız; [0,1] LGD için doğrudan uygun değildir |
| t(ν) | Market risk VaR, stres testi, piyasa getiriler | Kalın kuyruk — normal dağılımın yetersiz kaldığı uç olaylar |
| Exponential | Temerrüde kadar geçen süre, senaryo aralığı | Bellek yoksunluğu özelliği — geçmiş süre geleceği etkilemez |
| Chi-square | Normallik testleri, bağımsızlık testleri (Jarque-Bera) | Bağımsız normal kare toplamı — istatistiksel test istatistiği |
| Poisson | Dönemsel temerrüt sayısı, operasyonel kayıp sayısı | Nadir ve bağımsız olaylar — n büyük/p küçük portföyler |
Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.