Sayısal Temeller · Faz II — Olasılık Temelleri

Modül 09 — Çok Değişkenli Dağılımlar ve Bağımlılık

temel fikir

İki değişken arasındaki ilişkiyi tek bir sayıyla özetlemeye çalışmak, Pearson korelasyonu verir. Ama bu sayı bağımlılık yapısının yalnızca doğrusal boyutunu ölçer. Korelasyon sıfır olsa bile iki değişken güçlü biçimde bağımlı olabilir; korelasyonları aynı olsa bile iki değişken çifti kuyrukta tamamen farklı davranabilir. Copula, marginal dağılımlardan bağımsız olarak bağımlılık yapısını modelleyen matematiksel araçtır.

Gaussian copula, |ρ|<1 iken asimptotik kuyruk bağımlılığını sıfır kabul eder; t-copula ise sonlu serbestlik derecesinde simetrik kuyruk bağımlılığı üretir. 2007–09 yapılandırılmış kredi kayıplarını tek bir copula seçimine indirgemek doğru değildir: kalibrasyon verisi, korelasyon belirsizliği, yanlış teşvikler ve yapı varsayımları birlikte rol oynamıştır.

Kovaryans

Cov(X, Y) = E[(X−μ_X)(Y−μ_Y)]

Pozitif: birlikte yukarı · Negatif: ters yönlü hareket · Ölçü birimine bağlı

Pearson Korelasyon

ρ = Cov(X,Y) / (σ_X ⋅ σ_Y)

Birim bağımsız · −1 ≤ ρ ≤ +1 · Yalnızca doğrusal bağımlılığı ölçer

Korelasyon ≠ Bağımlılık. Y = X² durumunda ρ(X,Y) = 0 olabilir ama Y tamamen X'e bağlıdır. Daha tehlikeli olanı: ρ(X,Y) = 0.6 iken hem Gaussian hem de t-copula bu ρ değerini üretebilir — ama t-copula kuyrukta çok daha fazla ortak aşırı olay üretir. Bu fark "tail dependence" ile ölçülür.

Korelasyon doğrusal bağımlılığı özetler; bağımsızlıkla eş anlamlı değildir. t-kopuladaki serbestlik derecesi azaldıkça ortak uç hareketler güçlenebilir. Aynı doğrusal korelasyon, aynı kuyruk davranışını gerektirmez.

Bağımlılık Keşfedici

Pearson Korelasyonu ρ

ρ = +0.70

Örneklem büyüklüğü n

n = 400

Normal örnek

Ortak aşırı olay (|X|>2 ve |Y|>2, aynı yön)

%95 güven elipsi

Kovaryans Matrisi Σ = [

1.000	0.700
0.700	1.000

]

—

sklar teoremi ve copula

Sklar teoremi (1959), çok değişkenli dağılımları marginal dağılımlar ile bağımlılık yapısına ayrıştırır. Her çok değişkenli dağılım bir copula ile ifade edilebilir; marginaller sürekli ise bu copula benzersizdir:

Sklar Teoremi

F(x₁, …, x_d) = C(F₁(x₁), …, F_d(x_d))

F: ortak dağılım · C: copula (birim küp üzerinde tanımlı) · F_i: marginal dağılımlar · Copula, marginallerden bağımsız olarak bağımlılık yapısını kodlar

kuyruk bağımlılığı (tail dependence)

Üst kuyruk bağımlılık katsayısı λ_U, her iki değişkenin birlikte aşırı yüksek değer alma olasılığının bağımsız duruma göre ne kadar yüksek olduğunu ölçer:

Üst Kuyruk Bağımlılığı

λ_U = lim_u→1 P(X₂ > F₂^-1(u) | X₁ > F₁^-1(u))

Gaussian copula: λ_U = 0 (ρ < 1) · t-copula: λ_U > 0, artan ρ ve azalan ν ile artıyor

t-Copula Kuyruk Bağımlılığı

λ_U = 2t_ν+1(−√[(ν+1)(1−ρ)/(1+ρ)])

ν küçüldükçe artar · ρ büyüdükçe artar · ν→∞ limitinde 0'a yaklaşır (Gaussian)

Gaussian copula'nın λ_U = 0 olması, aşırı olayların bağımsız gerçekleşeceğini varsayar. Bu, 2007-2008'de MBS portföylerinde joint default olasılığının sistematik olarak küçümsenmesine yol açtı. David Li'nin "On Default Correlation" (2000) makalesiyle standart hale gelen bu model, Wall Street'in "sessiz silahı" olarak anılır.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 08 Modül 10 — Örnekleme Teorisi ve Merkezi Limit Teoremi →