Sayısal Temeller · Faz II — Olasılık Temelleri

Modül 06 — Olasılık Aksiyomları ve Bayes Teoremi

temel fikir

Olasılık teorisi, belirsizliği sayısal olarak ifade etmenin evrensel dilidir. Kolmogorov'un üç aksiyomu üzerine kurulu bu yapı, risk modellemesinin, istatistiksel çıkarımın ve makine öğrenmesinin ortak temelini oluşturur. Bayes teoremi ise bu yapının en pratik ve en çok yanlış anlaşılan sonucudur: yeni kanıt geldiğinde inancımızı nasıl güncelleriz?

Bankacılıkta her PD tahmin modeli, her skor güncelleme sürecinde ve her senaryo analizinde Bayes mantığı gizlidir. Özellikle "model sinyali pozitif — ama gerçek temerrüt olasılığı ne?" sorusu bu teoremi doğrudan kullanır.

kolmogorov aksiyomları

1

Negatif olmama: Her A olayı için P(A) ≥ 0. Olasılık asla negatif olamaz.
2

Normalleştirme: Tüm olaylar uzayı Ω için P(Ω) = 1. Bir şeyler kesinlikle gerçekleşir.
3

Toplanabilirlik: Birbirini dışlayan A ve B olayları için P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Birbirini dışlayan olayların olasılıkları toplanır.

Bu üç aksiyomdan, tüm olasılık teorisi türetilir. P(A̅) = 1 − P(A), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) gibi kuralların hepsi bunların corollary'leridir.

koşullu olasılık ve bağımsızlık

Koşullu Olasılık

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

B'nin gerçekleştiği biliniyorken A'nın olasılığı · P(B) > 0 koşuluyla

Bağımsızlık

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

A ve B bağımsız ise birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemez · P(A|B) = P(A)

bayes teoremi

Bayes Teoremi

P(H | E) = P(E | H) × P(H) / P(E)

H: hipotez (örn: "firma temerrüde düşer") · E: kanıt/sinyal · P(H): prior olasılık · P(H|E): posterior olasılık
P(E) = P(E|H)·P(H) + P(E|H̅)·P(H̅) — toplam olasılık teoremi ile genişletilir

Türetmesi bir satırdır: P(H|E) = P(H ∩ E)/P(E) ve P(E|H) = P(H ∩ E)/P(H) tanımlarından P(H ∩ E)'yi çekip yerine koy. Teoremin gücü formülden değil, sezgiden gelir: yeni kanıt, önceki inancımızı günceller.

Bayes Güncelleme Merkezi

Birim kare tüm olasılık uzayını temsil eder. Dikey bölünme hastalık/risk önceliğini, yatay çizgiler test doğruluğunu gösterir. Mavi alan gerçek pozitifler, turuncu alan yanlış alarmlardır.

Prior P(D) — prevalans

%2.0

Sensitivite P(+|D)

%90

Spesifite P(−|D̅)

%95

TP — Gerçek Pozitif

FN — Kaçırılan

FP — Yanlış Alarm

TN — Gerçek Negatif

Prior P(D)

—

Posterior P(D | Test+)

—

Güncelleme katsayısı

—

base rate yanılgısı

%95 sensitivite ve %95 spesifite olan bir test geliştirildi. Test pozitif çıktı — hasta olma olasılığı nedir? Çoğu insanın sezgisel cevabı "yaklaşık %95" olur. Bayes Kutusu'nda prior'u %2'ye ayarlayın: gerçek cevap yaklaşık %28'dir. Bu fark, base rate'in (prior olasılığın) göz ardı edilmesinden kaynaklanır.

Kredi riskindeki karşılığı: yıllık temerrüt oranı %1 olan bir portföyde, bir modelin "temerrüt sinyali" vermesi düşük PPV (Positive Predictive Value) üretir. Bu, modelin başarısız olduğu anlamına gelmez — base rate'in düşük olduğu anlamına gelir. İşte bu yüzden PD modelleri genellikle kesim noktasına değil, olasılık skoruna göre değerlendirilir.

Dikkat: "Model doğruluğu %95" ifadesi, sınıflandırma eşiğine ve base rate'e göre tamamen farklı şeyler ifade edebilir. Doğru metrik AUC/Gini'dir (Modül 36) — bu metrikler base rate'ten bağımsızdır.

bayes teoremi: odds formu

Bayes'i uygulamada en pratik biçimi odds formudur. Olasılık yerine odds (şans oranı) kullanarak:

Posterior Odds = Prior Odds × Likelihood Oranı

P(H|E) / P(H̅|E) = [P(H) / P(H̅)] × [P(E|H) / P(E|H̅)]

LR = P(E|H)/P(E|H̅) · LR > 1 → kanıt hipotezi destekliyor · LR < 1 → kanıt hipoteze karşı · LR = 1 → kanıt bilgi vermiyor

Bu form zincirleme güncellemeye idealdir: her yeni sinyal için posterior odds'ı bir önceki adımın odds'ı olarak kullanırsınız. Birden fazla bağımsız sinyal geldiğinde çarpılan şey odds değil likelihood oranlarıdır: posterior odds = prior odds × LR₁ × LR₂ × … Lojistik regresyonun (Modül 32) ağırlıklı skorlama yapısı bu çarpımın log-formudur.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 05 Modül 07 — Rastgele Değişkenler ve Dağılım Aileleri →