Sayısal Temeller · Faz I — Finansal Matematik

Modül 03 — Verim Eğrisi ve Bootstrap

temel fikir

Piyasa, her vade için farklı bir faiz oranı fiyatlar. 1 yıllık borç için %4 öderken 10 yıllık borç için %5.5 ödeyebilirsiniz. Bu oranların vadeye göre çizildiği grafiğe verim eğrisi denir. Şekli o günkü ekonomik beklentilerin en yoğun özetidir: enflasyon, büyüme, merkez bankası politikası ve belirsizlik hepsini bir kerede anlatır.

Risk yöneticisi için verim eğrisi, bütün nakit akışı değerleme ve riske duyarlılık hesaplarının başlangıç noktasıdır. IRRBB, swap primleri, tahvil fiyatlama, NMD modelleme — hepsinin altında yatan yapıdır.

üç farklı eğri: par, sıfır, forward

Piyasada fiyatlandırılan oran ile modellemede kullanılan oran aynı değildir. Aralarındaki fark kritiktir:

Eğri	Ne ölçer?	Nereden gelir?
Par yield	Par'da işlem gören bir tahvilin kupon oranı. Hem kupon hem anaparayı içerir.	Piyasadan doğrudan gözlemlenir (benchmark tahvil fiyatları)
Spot / Zero	Bugünden t yılına kadar yapılan tek bir ödemenin bugünkü değer indirgemesi.	Bootstrap ile par yield'dan türetilir
Forward	Gelecekte başlayan bir dönem için şimdiden kilitlenmiş oran. Piyasanın faiz beklentisini içerir.	Spot eğrisinden matematiksel olarak türetilir

Yükselen eğri için sezgi: belirli, düzgün ve tek-eğrili örneklerde forward oranlar spot oranların üzerinde; kuponlu par getirisi de aynı vadenin spot oranından farklı olabilir. Fakat Par < Zero < Forward evrensel bir kimlik değildir: kupon takvimi, bileşim, interpolasyon ve çoklu iskonto/projeksiyon eğrileri sıralamayı değiştirebilir.

Bootstrap örneği yıllık kupon, yıllık bileşik spot oran ve tam yıl vadeler kullanır. Negatif bir forward oranı tek başına geçersiz değildir; her vadede iskonto faktörünün pozitif olması gerekir.

Verim Eğrisi Keşfedici

Seviye parametresi (Nelson–Siegel β₀)

%4.0

Eğim (uzun−kısa)

+2.0 pp

Eğrilik (hump)

+0.5 pp

Normal / Yükselen: Uzun vadeli faizler kısadan yüksek. Büyüme beklentisi, normal risk ve likidite primi. En yaygın şekil.

eğri şekilleri ve ekonomik yorumları

Verim eğrisi; beklenen kısa oranlar, vade primi, likidite ve arz-talep etkilerinin bileşimidir. İnversiyon bazı ülkelerde geçmiş durgunluklardan önce gözlenmiştir, ancak zamanlama ve sonuç deterministik değildir. Bu nedenle eğri şekli tek başına tahmin kuralı değil, diğer göstergelerle sınanacak bir sinyaldir.

Eğri değişimleri çoğu veri setinde seviye, eğim ve eğrilik benzeri birkaç ana bileşende yoğunlaşır. Açıklanan varyansın oranı para birimine, örnekleme sıklığına, vade düğümlerine ve döneme bağlıdır; “%99’dan fazla” sabit bir yasa değildir. Modül 17’de bu oranı PCA ile veriden ölçeceğiz.

forward rate yorumu

Spot'tan Forward'a

f(t, t+1) = (1 + s_t+1)^t+1 / (1 + s_t)^t − 1

f(1,2): bugün kilitlenilen, 1 yıl sonra başlayan ve 1 yıl süren faiz oranı · Piyasa beklentisinin özetlenmesi

Forward rate teorik olarak "piyasanın gelecekteki spot orana beklentisini" yansıtır — ama sadece bekleyiş kuramı geçerliyse. Risk primi teorisine göre yatırımcılar uzun vadede risk primi talep ettiği için forward rate gerçek beklentinin üzerinde seyreder. Bu fark, IRRBB modellerinde "NIM karı yeterince korunuyor mu?" sorusunu yanıtlarken kritik hale gelir.

risk yönetiminde kullanım

IRRBB: Faiz riski modellerinde (EVE, NII) nakit akışları, risk-free spot curve kullanılarak indirgenir. Eğri şifti senaryoları (+200bp, -200bp, twist, flattening) doğrudan bu modülün konusudur.

Swap değerleme: Sabit faizli swap'ın değeri, forward curve'den üretilen beklenen değişken nakit akışlarının bugünkü değeridir. Bootstrap olmadan swap MTM hesaplanamaz.

NMD modelleme: Vadesiz mevduatın replike portföyü, mevcut verim eğrisi kullanılarak kurulur. Eğri invertse portföy yapısı ciddi biçimde değişebilir.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 02 Modül 04 — Tahvil Fiyatlama ve Durasyon →