Sayısal Temeller · Faz I — Finansal Matematik

Modül 01 — Paranın Zaman Değeri

temel fikir

Bugün elinizde 10.000 ₺ varsa ve bir yıl boyunca kesin olarak %10 kazanabileceğiniz karşılaştırılabilir bir yatırım varsa, 11.000 ₺’lik bir yıllık nakit akışının bugünkü değeri 10.000 ₺’dir. “Eşdeğerlik” ancak para birimi, vade, risk ve kullanılabilirlik aynı tanımlandığında geçerlidir; riskli bir ödeme risksiz oranla mekanik biçimde indirgenemez.

Paranın zaman değerini fırsat maliyeti, enflasyon ve belirsizlik birlikte etkiler. Uygulamada önce nominal/reel nakit akışı tutarlılığı kurulur; risk ise nakit akışı olasılıklarında veya uygun risk ayarlı iskonto oranında ele alınır. Aynı riski iki tarafta birden düzeltmek çift sayım yaratır.

temel formüller

Gelecek Değer (FV)

FV = PV × (1 + r)ⁿ

PV: bugünkü değer · r: dönemsel faiz oranı · n: dönem sayısı

Bugünkü Değer (PV)

PV = FV / (1 + r)ⁿ

İndirgeme faktörü: 1 / (1 + r)ⁿ — n>0 ve r>0 ise 1’den küçüktür; negatif oranda 1’i aşabilir

Anüite Bugünkü Değeri

PV = PMT × [1 − (1 + r)⁻ⁿ] / r

PMT: her dönem eşit ödeme · n sonlu seri için kullanılır

Perpetüite Bugünkü Değeri

PV = PMT / r

n → ∞ durumunda anüite formülünün limiti · sonsuz nakit akışı serisi

bileşik faiz türleri

Yıllık faiz oranı r yılda m kez uygulandığında formül:

m-Dönemli Bileşim

FV = PV × (1 + r/m)^m·n

m = 1: yıllık · m = 12: aylık · m = 365: günlük

Sürekli Bileşim (m → ∞)

FV = PV × e^r·t

Teorik üst sınır · türev modellerinde standart · e ≈ 2.71828

Bileşim frekansı arttıkça FV artar, ancak sonsuz bile olsa e^rt sınırını aşamaz. Yıllık %10 faizde 1 yıllık bileşim farkı: yıllık 1.1000, aylık 1.1047, günlük 1.1052, sürekli 1.1052. Fark küçük görünse de 30 yıl ve yüksek faizlerde anlamlı hale gelir.

Risk dünyasında sürekli bileşim neden sık kullanılır? Önce, türev analitik olarak basitleşir — log-return tanımı buradan gelir. İkincisi, Black-Scholes ve GBM modelleri sürekli zamanlı süreçlere dayanır (Faz VI). Üçüncüsü, faiz oranı dönüşümlerinde aritmetik temiz kalır: r_sürekli = ln(1 + r_yıllık).

Bileşim Keşfedici

Başlangıç değeri (PV)

10.000 ₺

Yıllık faiz oranı

%10

Süre (yıl)

20 yıl

Basit faiz

Yıllık bileşik

Aylık bileşik

Sürekli bileşim

Basit faiz

—

Yıllık bileşik

—

Aylık bileşik

—

Sürekli bileşim
—
—

anüite ve perpetüite

Gerçek finansal araçların büyük çoğunluğu tek bir nakit akışı değil, bir seridir. Anüite n dönem boyunca her dönem eşit ödeme yapan bir serinin bugünkü değeridir. Formülü PV = PMT × annüite faktörü; faktör sadece r ve n'ye bağlıdır. İpotek, kira, araç kredisi, sigorta primlerinin hepsi bu çerçevede değerlenir.

Perpetüite ise sonsuza kadar devam eden eşit ödemelerdir. n → ∞ durumunda anüite formülü PV = PMT / r'ye indirgenir. İngiltere Konsol tahvili ve bazı tercihli hisse senetleri bu yapıya yaklaşır. Sürekli büyüyen perpetüite (Gordon büyüme modeli) hisse senedi değerlemesinin temelidir: PV = PMT / (r − g).

risk dünyasındaki yeri

ECL hesabı: IFRS 9 kapsamında temerrüt halinde kurtarılacak nakit akışları (teminattan elde edilen gelir, tahsilat ödemeleri) bugünkü değere indirgenerek kayıp tahmin edilir. İskonto oranı olarak EIR (efektif faiz oranı) kullanılır.

Tahvil fiyatlama: Bir tahvilin piyasa fiyatı, kupon ödemelerinin ve ana para geri ödemesinin bugünkü değerlerinin toplamıdır. YTM bu toplamı piyasa fiyatına eşitleyen iskonto oranıdır (Modül 04).

Swap değerleme: Faiz swapında sabit bacağın PV'si ile değişken bacağın PV'si hesaplanır; bu fark sözleşmenin piyasa değeridir. XVA hesaplarının (CVA, DVA) altında da aynı indirgeme mekaniği çalışır.

LGD: Teminattan elde edilen tahsilat nakit akışları zamanla yayılır. Recovery süresinin uzunluğu ve iskonto oranı LGD tahmini üzerinde doğrudan etki yapar. "Neden teminat değeri LGD'yi 1'e indirmiyor?" sorusunun cevabı burada yatar.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

Modül 02 — Faiz Mekaniği ve Day Count →