12 · Volatilite, Convexity & Non-Linear Riskler

Faz 3 · Non-Linear Risk

Neden delta tek başına yetmez?

Delta, bir pozisyonun değerinin underlying fiyatına göre anlık duyarlılığıdır. Fiyat çok az değiştiğinde delta iyi bir yaklaşım verir. Ama fiyat büyük hareket ettiğinde delta'nın kendisi de değişir — ve bu değişimi gamma ölçer.

Tahvilden örnek: 10 yıl vadeli tahvil için DV01 (delta'nın faiz versiyonu) faiz 1% değiştiğinde yaklaşık doğru sonuç verir. Ama faiz 3% değişirse DV01 o değişim boyunca sabit değildir — tahvilin convexityi var, aşağı hareket daha az zarar verir, yukarı hareket daha az kazandırır. DV01 bu asimetriyi kaçırır.

Opsiyon için: ATM call, delta = 0.5 ile başlar. Underlying fiyatı 10% artarsa delta 0.5'ten ~0.8'e çıkar. Bu değişimi tahmin etmeden P&L'i öngörmek imkânsız. Gamma o değişimi verir.

Delta Yaklaşımı (1. Derece Taylor)

ΔV ≈ δ × ΔS
Küçük hareketlerde yeterli. Büyük harekette hata birikir. Sadece eğim (slope) kullanır — eğriliği (curvature) yok sayar.

Delta-Gamma Yaklaşımı (2. Derece Taylor)

ΔV ≈ δ × ΔS + ½ × γ × ΔS²
Eğriyi de hesaba katar. Non-linear ürünlerde çok daha doğru. Büyük harekette bile iyi yaklaşım.

Full revaluation: Pozisyonu her şok altında fiyatlama modeliyle yeniden hesaplar; Taylor yaklaşımına göre non-lineerliği daha doğrudan taşır, ancak sonuç yine fiyatlama modelinin doğruluğuna bağlıdır. Hesaplama maliyeti ve yaklaşık yöntemin hatası birlikte değerlendirilmelidir.

İnteraktif — Delta-Gamma Yaklaşımı

Büyük harekette delta ne kadar yanılıyor?

Long call opsiyon: strike ₺32, volatilite %25, 3 aylık. Underlying fiyatını değiştir — gerçek P&L (full reval) ile delta-only tahmini karşılaştır. Gamma düzeltmesi farkı ne kadar kapatıyor?

Delta vs Delta-Gamma vs Full Reval (Long Call)

Strike: ₺32 · Vol: %25 · T: 3 ay · r: %20

Full Reval (gerçek)

Delta-Only

Delta + Gamma

Underlying fiyatı ₺32.00

Volatilite %25

0.50

Delta (δ)

0.04

Gamma (γ)

₺0

Delta hatası

₺0

Δ+Γ hatası

Sabit Getiri Boyutu

Convexity: tahvilin gizli avantajı

Tahvil fiyat-faiz ilişkisi doğrusal değil, eğriseldir — bu eğriliğe convexity denir. Uzun vadeli tahvillerde belirgin: faiz 1% artarsa beklenen kayıptan daha az kaybeder, 1% düşerse beklenen kazançtan daha fazla kazanır. Bu asimetri convexity'den gelir.

Duration (DV01) bu eğriliği ihmal eder ve doğrusal yaklaşım yapar. Convexity düzeltmesi eklenmediğinde büyük faiz hareketlerinde P&L hesabı hatalı çıkar.

Convexity Etkisi

Faiz değişiminde duration tahmini vs gerçek fiyat — fark convexity kazancı/kaybıdır

Vade (yıl) 10 yıl

Faiz değişimi 0 bp

—

Mod. Duration

—

Convexity

₺0

Convexity kazancı

Slider'ları hareket ettir.

Pozitif Convexity (Long)

Negatif Convexity (Short / Callable)

Kimde bulunur: Vanilla tahvil, long opsiyon, receiver IRS.

Etkisi: Faiz yükselince duration tahmininden az kaybeder; faiz düşünce duration tahmininden fazla kazanır. Her zaman sahibine avantaj sağlar — bu yüzden prim ödenmeye değer.

Kimde bulunur: Callable bond, mortgage (prepayment), short opsiyon.

Etkisi: Faiz düşünce erken ödeme artar, duration kısalır → kazanç azalır. Faiz yükselince duration uzar → kayıp büyür. Hem yönde dezavantaj — negatif convexity prim alınmayı gerektiriyor.

İnteraktif — Volatilite Yüzeyi

Volatilite smile ve skew: implied vol neden düz değil?

Black-Scholes aynı vade için her strike'ta aynı volatiliteyi varsayar. Piyasa bunu kabul etmez. Farklı strike'larda farklı implied volatilite gözlemlenir — bu yapıya volatilite smile (veya skew) denir. Bu yapı olmadan opsiyon portföyleri doğru fiyatlanamaz.

Implied Volatilite Yapısı

Farklı piyasa koşullarında volatilite smile/skew profilleri. Bir sekme seç.

Klasik Smile

Equity Skew

Flat (BS varsayım)

FX Smile

Validasyon notu: Model volatilite yüzeyini doğru kalibre edemiyor ya da yanlış interpolasyon kullanıyorsa, özellikle OTM opsiyonların fiyatlaması hatalı olur. Skew'in vadeye göre değişimi (term structure) ek bir boyut — ayrı kalibrasyon gerektirir. Swaption vol cube: strike × tenor × maturity üç boyutlu — en zorlu kalibrasyon meselelerinden biri.

Pratik Konsept

Gamma scalping: gamma long ne anlama gelir?

Long opsiyon satın aldığında hem positive gamma hem de negative theta alırsın. Gamma sana sürekli delta rebalancing ile para kazandırır — piyasa volatil oldukça. Theta ise her gün zaman değeri olarak eder. Gamma scalping bu ikisini dengeleme sanatıdır.

Gamma Scalping Simülasyonu

Long ATM call: her gün delta-hedge ile yeniden dengeleniyor. Realized vol > implied vol olursa kazanç.

Implied vol (%) %25

Realized vol (%) %30

Pozisyon ($M nominal) $100M

Gamma P&L

+₺0

Realized volatiliteden kazanılan (delta-hedge rebalancing)

Theta Kaybı

-₺0

Opsiyon zaman değeri erimesi (30 gün)

Net P&L

₺0

Gamma kazancı − Theta maliyeti

Vol Farkı

+5%

Realized − Implied: kazancın kaynağı

Derinleşme — Negatif Konveksite & Yaklaşım Hatası

Konveksite her zaman dost değil: ne zaman aleyhine döner?

Şimdiye kadar konveksiteyi "long taraf için iyi" gördük — büyük harekette beklenenden fazla kazandırır. Ama bazı ürünler negatif konveksite taşır: tam da işine yarayacak yönde hareket olunca optionality devreye girip kazancını kısar. Bunlar validasyonun en sevmediği ürünlerdir çünkü risk asimetriktir ve gizlidir.

Ürün

Konveksite

Neden & risk

Callable tahvil

Negatif

Faiz düşünce ihraçcı çağırır → fiyat artışı tavanlanır. Yatırımcı yukarı potansiyeli kaybeder, aşağıyı taşır. Duration faizle değişir (negative effective duration).

MBS / mortgage

Negatif

Faiz düşünce prepayment hızlanır → vade kısalır, yüksek kupon kaybedilir. Faiz artınca uzar (extension). Davranışsal model riski (Modül 29).

Satılan opsiyon (short)

Negatif gamma

Prim toplanır ama büyük harekette zarar hızlanır. Delta-hedge "yanlış anda" alım-satım yaptırır (sell low, buy high). Gamma scalping'in tersi.

Barrier (knock-out)

Süreksiz

Bariyer civarında gamma/delta sıçrayabilir veya işaret değiştirebilir. Pin riski nedeniyle düşük dereceli Taylor yaklaşımı güvenilmezleşir; full revaluation güçlü bir referans testidir.

Peki yaklaşım ne kadar yanılır? Long ATM call örneğinde (δ≈0.50, γ pozitif), spot şoku büyüdükçe üç yöntemin tahmini ayrışır — gerçek (full revaluation) ile fark, riskin hafife alınma miktarıdır:

Spot şoku

Delta-only

Delta-gamma

Full reval (gerçek)

küçük (±1%)

≈ doğru

referans

orta (±10%)

belirgin sapma

küçük sapma

referans

büyük (±25%, VaR/stres)

ciddi yanlış

hâlâ sapar (3.+ derece)

referans

Validasyon & yüksek dereceli Greekler: VaR/ES tam da büyük şoklarda (kuyruk) ölçtüğü için, opsiyon kitabında delta-gamma bile yetmez — full revaluation beklenir. Tek nokta değil, profilin tamamı yeniden fiyatlanmalı. İleri kitaplarda ikinci derece Greekler de izlenir: vanna (delta'nın vol'e duyarlılığı — smile hedge'i için), volga/vomma (vega'nın vol'e duyarlılığı — vol-of-vol), charm (delta'nın zamanla kayması), speed (gamma'nın değişimi). Validatörün sorusu net: portföy negatif gamma/konveksite taşıyorsa, stres senaryoları yeterince büyük ve çift yönlü mü; bariyer/pin gibi süreksizlikler full reval ile mi yakalanıyor?

Özet

Bu sayfadan ne götürmelisin?

Anahtar çıkarımlar

Delta lineer yaklaşım — küçük harekette iyi, büyük harekette gamma düzeltmesi şart: ΔV ≈ δΔS + ½γΔS²
Gamma: delta'nın değişim hızı — ATM'de en yüksek, vadeye yaklaştıkça patlıyor
Convexity: tahvilin faiz-fiyat eğriliği — long taraf avantajlı, callable/mortgage negatif convexity taşır
Vega: implied volatilite duyarlılığı — vol yüzeyi (smile/skew) doğru kalibre edilmezse fiyatlama hatalı
Gamma scalping: realized vol > implied vol ise delta-hedge kazandırır; theta maliyeti bunu eritir
VaR'da full revaluation vs delta-gamma seçimi: opsiyon portföylerinde delta-only VaR yetersiz — validasyonun sorguladığı nokta
Bu non-linearitenin FRTB karşılığı curvature (eğrisellik) riski: delta+vega'ya ek olarak büyük yukarı/aşağı şoklarla ayrı sermaye hesaplanır — gamma riskinin regülasyondaki adı
Negatif konveksite gizli ve asimetriktir: callable tahvil, MBS (prepayment), satılan opsiyon (negatif gamma), barrier (süreksiz) — büyük şokta full revaluation şart, delta-gamma bile yetmez