Sayısal Temeller · Faz III — İstatistiksel Çıkarım

Modül 12 — Güven Aralıkları ve Bootstrap

temel fikir ve yorum

Bir parametre için tek bir nokta tahmini genellikle yeterli değildir; belirsizliği de ölçmek gerekir. Güven aralığı bu belirsizliği nicelleştirir — ama yaygın yorum hatası şudur: "%95 güven aralığı, parametrenin %95 olasılıkla bu aralıkta olduğu anlamına gelmez." Parametre sabit, aralık rastgeledir. Doğru yorum: bu yöntemi binlerce kez uygulasaydık, aralıkların %95'i gerçek parametreyi kapsardı.

σ biliniyorsa (z-aralığı)

X̅ ± z_1−α/2 ⋅ σ / √n

z_0,975 = 1,960 (%95) · z_0,995 = 2,576 (%99) — yani z_1−α/2; z_0,025 = −1,960’dır · σ pratikte bilinmez

σ bilinmiyorsa (t-aralığı)

X̅ ± t_{1−α/2, n−1} ⋅ s / √n

s: örnek std sapması · df = n−1 · n ≥ 30 için t ≈ z · Gerçekçi standart

En yaygın yorum hatası: "%95 GA [2.1, 3.4] hesaplandı, yani parametrenin bu aralıkta olma olasılığı %95'tir." — Bu yanlış. Parametre sabit bir değerdir, aralık ise veriyle birlikte değişen rastgele bir nesnedir. Frekansçı yorumda parametre "aralıkta" ya tamamen vardır ya da yoktur; olasılık aralığa değil yönteme aittir.

Güven aralığındaki %95, aynı yöntemle tekrar tekrar kurulan aralıkların uzun dönem kapsama oranıdır. Ekrandaki sonlu sayıda tekrarın tam %95 kapsaması beklenmez. Student-t kritik değerleri sayısal dağılım fonksiyonundan hesaplanır; bootstrap yüzdelik aralığı küçük veya çarpık örneklemde tam kapsama garantisi vermez.

Güven Aralığı Merkezi

Her yatay çubuk bir simülasyondan hesaplanan güven aralığını temsil eder. Yeşil: gerçek μ = 0 kapsanıyor. Kırmızı: kapsanmıyor. Teorik olarak kırmızı oran = 1 − güven düzeyi.

Örneklem büyüklüğü n

n = 20

Güven düzeyi

Kapsayan (yeşil)

—

Kaçıran (kırmızı)

—

Gerçekleşen kapsama

—

bootstrap algoritması

Bootstrap yönteminin özü basittir: elimizdeki örneklemi popülasyonun en iyi tahmini olarak kabul et ve bu örneklemden yerine koyarak (with replacement) B kez yeniden örnekleme yap. Her tekrarda istatistiği hesapla. Bu B değerin dağılımı, istatistiğin örnekleme dağılımının ampirik tahminidir. CI için: bootstrap dağılımının %2.5 ve %97.5 yüzdelikleri aralık sınırlarını verir.

Bootstrap parametrik dağılım varsayımını azaltır, fakat “her istatistikte otomatik geçerli” değildir. Yüzdelik aralık sapmalı olabilir; uç kuantiller, sınır parametreleri, çok küçük örneklem ve bağımlı veri özel yöntem ister. Temel örneklemin hedef popülasyonu temsil etmesi şarttır.

Model validasyonunda bootstrap, AUC/Gini gibi ölçülerin belirsizliğini tahmin etmek için yararlı bir araçtır. Ancak örnekleme birimi borçlu düzeyinde tutulmalı, zaman/segment bağımlılığı korunmalı ve yöntem belgelenmelidir. ABD model riski referansı 17 Nisan 2026’dan itibaren SR 11-7’nin yerine geçen SR 26-2’dir.

Yöntemler ve birincil referanslar: Sözlük ve kaynaklar.

← Modül 11 Modül 13 — Hipotez Testleri →