Lineer Regresyon: İlk Model Dili
Bu bölümün sonunda
- OLS amaç fonksiyonunu ve artık kavramını açıklamak
- Katsayıları koşullu ilişki olarak yorumlamak
- Doğrusallık, dışsallık, sabit varyans ve bağımlılık varsayımlarını sınamak
ols: en küçük kareler yöntemi
Lineer regresyon, y = β₀ + β₁x + ε modelini verilere uydurur. OLS (Ordinary Least Squares), bu uydurma işlemi için kullanılan standarttır: artıkların karelerinin toplamını minimize eden β₀ ve β₁ değerlerini bulur.
Artık (residual), her gözlem için gerçek y ile modelin tahmin ettiği ŷ arasındaki farktır: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. OLS, Σeᵢ² değerini minimize eder. "Neden karesi?" sorusu önemlidir: negatif ve pozitif artıkların birbirini iptal etmemesi, büyük hataları karesel biçimde daha fazla cezalandırmaktır. Bunun sonucu OLS’nin aykırı değerlere karşı daha dayanıklı değil, daha duyarlı olmasıdır.
Katsayı yorumu: β₁, x'de 1 birimlik artışın y'yi ortalama kaç birim değiştirdiğini söyler — diğer değişkenler sabit tutulduğunda. Bu "diğerleri sabit" şartı, çoklu regresyonda özellikle kritiktir.
artifact — regresyon labı: ols playground
Teminat oranı (x) ile LGD (y) ilişkisi. β₀ (sabit) ve β₁ (eğim) kaydırıcılarını ayarlayın, Toplam Kare Hata'nın nasıl değiştiğini izleyin. Sonra "OLS Çözümü" ile minimize eden noktaya atlayın.
dört varsayım: her biri ihlal edilirse ne olur?
Gauss–Markov sonucu; parametrelerde doğrusallık, sıfır koşullu ortalama, tam sütun rankı ve küresel/sabit hata varyansı gibi koşullara dayanır; dördüncüsü (normallik) BLUE için değil, güven aralığı ve hipotez testlerinin geçerliliği için gerekir. Bankacılık verisinde en az birinin ihlali neredeyse kaçınılmazdır — önemli olan ihlali fark etmek ve modeli buna göre adapte etmektir.
İhlal: Artık saçılım grafiğinde belirgin bir eğri örüntü. Bankada: Gelir ile LGD non-lineer ilişkili. Çözüm: log dönüşümü, polinom terim, non-lineer model.
İhlal: Durbin-Watson istatistiği. Bankada: Aynı müşteriden çoklu gözlem — panel verinin doğal sonucu. Çözüm: Clustered standart hatalar, mixed model.
İhlal: Artık vs fitted plot'ta huni şekli. Bankada: Yüksek EAD kredilerde LGD daha değişken. Çözüm: WLS, robust standart hatalar.
İhlal: QQ plot ile görülür. Bankada: LGD bimodal, artıklar non-normal. Büyük örneklemde CLT sayesinde tahmin hâlâ geçerli ama testler dikkat ister.
düzenleyici dayanak
Lineer regresyon, PD için doğrudan kullanılmaz (sonuç ikili ve [0,1] sınırlı — bu yüzden bir sonraki modülde logit'e geçeriz). Ama regresyon, bankacılıkta makro/stres modellerinin dilidir: IFRS 9 ve denetim stres testlerinde temerrüt oranını makro değişkenlere bağlayan "satellite" modeller regresyondur. EBA/ECB stres testi bu modellerin varsayım ihlallerini (otokorelasyon, durağanlık, aşırı uyum) sorgular; SR 26-2 varsayım testlerini dokümantasyonun parçası sayar.
tipik hata
İkinci yanılgı: artıkları incelememek. OLS'nin sihri, artıklar gerçekten random bir gürültü gibi davrandığında çalışır. Artık saçılım grafiği (residuals vs fitted), model kalitesinin en bilgilendirici görünümüdür — ama çoğu zaman ihmal edilir. Validasyonun sorgulaması: "Artık analizi yapıldı mı, sonuçları belgelendi mi?"